Quod erat demonstrandum

Nous prétendions donc, il y a quelques jours que dans une soirée à laquelle se rendent au moins six personnes, il y a au moins trois personnes qui se connaissent mutuellement ou au moins trois qui sont étrangères les unes aux autres.

D'aucune, incrédule, a réclamé une démonstration. Et comme on est ici sur un ploug conséquent et sérieux, nous allons donc vous offrir une démonstration, ce qui, vous en conviendrez, est tout de même assez rare (on ne taupine pas tellement dans la plougosphère).

Alors... [roulements de tambour] Alors, c'est finalement très simple.

Considérez donc, dans cette soirée, celui des convives qui connait le plus de monde. Appelons-le, par exemple, monsieur mondain (ou madame mondaine, mais il faut bien fixer les idées, alors, nous dirons que ce soir, nos six et quelques convives se retrouvent dans un gentlemen's club, genre le White's, mais en fait, ce n'est vraiment pas le sujet, et que notre individu d'intérêt est bien un monsieur mondain, ce qui fixe les idées sans préjuger du reste de notre démonstration).

De deux choses l'une. Soit monsieur mondain est un authentique mondain et il connaît au moins trois autres convives, soit monsieur mondain est finalement moins mondain qu'il n'y paraît et il connaît au plus deux autres convives.

Si monsieur mondain est un authentique mondain, considérons trois de ses connaissances. De deux choses l'une. Soit, parmi ces trois là, au moins deux se connaissent, soit aucun des trois ne connaît les deux autres. Dans un cas comme dans l'autre, il y a au moins trois personnes qui se connaissent mutuellement ou au moins trois qui sont étrangères les unes aux autres.

A présent, considérons le cas où monsieur mondain n'est pas si mondain qu'il n'y paraissait de prime abord. Si monsieur mondain ne connaît pas plus de deux autres convives alors, au cours de cette soirée, monsieur mondain est susceptible de faire connaissance avec au moins trois autres personnes (c'est là que le six est vraiment déterminant). Comme monsieur mondain est, par définition, celui de nos convives qui connaît le plus de monde ce soir, et que, précisément, il ne connaît pas plus de deux personnes, les trois autres personnes connaîssent au plus deux personnes chacune, ce qui suppose que, soit elles se connaissent toutes les trois, soit au moins deux d'entre elles ne se connaissent pas non plus. Ainsi, ce soir là aussi, il y a au moins trois personnes qui se connaissent mutuellement ou au moins trois qui sont étrangères les unes aux autres. Ce qui achève la démonstration. QED écrivait-on autrefois au bas de la démonstration achevée. QED pour quod erat demonstrandum, ce qu'il fallait démontrer.

Ca vous fait une belle jambe, hein ?